assignement done, forgot push
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78
main.typ
78
main.typ
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@ -31,7 +31,7 @@
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= Notes
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Le code présenté est retrouvable sur #link("ssh://sherbrooke@bigblase.xyz:/srv/git/crypto2")\
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mot de passe: `FDS8EbKiDNoJh2QN`\
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mot de passe : `FDS8EbKiDNoJh2QN`\
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Le code a été testé sous linux, kernel 6.5 et librairie à jour (sept 2023), en
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utilisant gcc 13.2.1.
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Pour compiler, il faut d'abord créer le dossier _build_ à la racine du projet.
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@ -40,15 +40,15 @@ Il _devrait_ être portable (C99, POSIX compliant)
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#set heading(numbering: "I) a) i)")
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= Mac insécure
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Pour tester le code, il faut exdecuter ```sh make run test=<TEST> eve=<ARGS_EVE>```
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en prennant pour `test`: `ZERO`, `MID`, `MAX`, ou `NAME` (ce qui correspond à un
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Pour tester le code, il faut exécuter ```sh make run test=<TEST> eve=<ARGS_EVE>```
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en prenant pour `test`: `ZERO`, `MID`, `MAX`, ou `NAME` (ce qui correspond à un
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message de `0x00000000`, `0x0000ffff`, `0xffffffff`, et `0x626f62` (qui est
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"bob\0" en ASCII) respectivement). Les arguments de `eve` sont les m^emes,
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"bob\0" en ASCII) respectivement). Les arguments de `eve` sont les mêmes,
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et modifient le message et le tag de manière à ce que bob vérifie le mac tag
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le message correctement. Si aucun argument de eve n'est spécifié, eve ne fait
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le message correctement. Si aucun argument d'Eve n'est spécifié, Eve ne fait
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rien.
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== Eve ne fait rien : traces d'éxécutions
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== Eve ne fait rien : traces d'exécutions
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===
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```test=ZERO:
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--- MSG ---
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@ -143,8 +143,8 @@ Ici, le tag est $t$, la clef key est $k$, le message est $m$,
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et _verifies_ est $v$.
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== Eve modifie le message et le tag
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En faisant tourner n'importe quel test avec un paramètre d'eve, on voit
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que le MAC est toujours vérifié pour bob:
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En faisant tourner n'importe quel test avec un paramètre d'Eve, on voit
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que le MAC est toujours vérifié pour Bob:
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===
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```test=MAX eve=ZERO
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--- MSG ---
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@ -208,29 +208,29 @@ Ainsi, Eve peut intercepter et envoyer un tag qui semble correct à Bob, peu
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importe le message reçu. On peut faire cela car :
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$t = m xor k$, et Eve connait $t, m$.
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Ainsi, le tag $t'$ est correct aux yeux de Bob, où
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$t' = m xor m xor k = m xor mac$.
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$t' = m xor m xor k = m xor "mac"$.
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Donc, en introduisant le message $m_e$ de Eve, on a:
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$t_e &= m_e xor t xor m \
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&= m_e xor m xor k xor m \
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&= m_e xor k$
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Quand Bob vérifira le message, il verra donc un message correctement taggé.
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Quand Bob vérifiera le message, il verra alors un message correctement taggé.
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Eve peut donc envoyer n'importe quel message traffiqué et vérifiable avec
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une probabilité de 1, du moment que le message et le tag qu'elle reçoit
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sont vérifiables.
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== Pseudo-aléatoire
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Soit $F: {0,1}^n cross {0,1}^n -> {0,1}^n$ telle que $F(k, x) = x xor k$.
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Soit $F: {0,1}^n times {0,1}^n -> {0,1}^n$ telle que $F(k, x) = x xor k$.
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En fixant $k in {0,1}^n$, on peut écrire $F(k, .): {0,1}^n -> {0,1}^n$.
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Cette fonction est pseudo aliéatoire, car la fonction $F_k$ forme une
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Cette fonction est pseudo aléatoire, car la fonction $F_k$ forme une
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bijection sur ${0,1}^n$:
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* surjectice:
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* Surjective:
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$forall x in {0,1}^n, exists y in {0,1}^n | x xor k = y$
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C'est évident : il suffit de prendre $y = x xor k$, qui existe
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car $xor$ est définit sur ${0,1}^n cross {0,1}^n$ et à valeurs dans ${0,1}^n$
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* injective:
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car $xor$ est définit sur ${0,1}^n times {0,1}^n$ et à valeurs dans ${0,1}^n$
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* injective :
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$forall x, y in {0,1}^n, & F_k(x) &= F_k(y) => x = y$
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Supposons qu'on a ces $x,y$. On a alors :
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$x xor k &= y xor k\
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@ -238,5 +238,51 @@ bijection sur ${0,1}^n$:
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<=> x &= y $ On a donc ce que l'on voulait.
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Ainsi, la sortie de $F_k$ est uniformément répartie sur ${0,1}^n$.
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Elle est donc pseudo aléatoire car elle donne une sortie autant répartie que
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Elle est donc pseudo aléatoire, car elle donne une sortie autant répartie que
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son entrée.
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= RSA
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Soit la sortie $(143, 11, 13)$ d’un algorithme *GenModulus*($1111$) pour RSA.
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== $N, P,$ et $q$
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Ici, $N = 143, p = 11, q = 13$. On remarque que $N = p dot q$
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== $Phi(N)$
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Ici, $Phi(N) = |bb(Z)^*_N| = |bb(Z)/(N bb(Z))| = Phi(p q) = (p-1)(q-1) = 120$
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La quatrième égalité est valable, car $p$ et $q$ sont premiers.
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== Exposant inverse
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On pose $e = 7$. On cherche $d = e^-1$ dans $Z^*_N$.
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$
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d = 1 ; d dot e eq.triple 7 [120] \
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d = 2 ; d dot e eq.triple 14 [120] \
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d = 3 ; d dot e eq.triple 21 [120] \
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... \
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d = 99 ; d dot e .eq.triple 93 [120] \
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d = 100 ; d dot e .eq.triple 100 [120] \
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d = 101 ; d dot e .eq.triple 107 [120] \
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d = 102 ; d dot e .eq.triple 114 [120] \
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d = 103 ; d dot e .eq.triple 1 [120] \
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$
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On voit que $d = 103 eq.triple e^(-1) [N]$ convient.
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== RSA
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La clef public est donc le couple $k_(italic("pub") = (7, 143) = (e, N)$,
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et la clef privée est le couple $k_(italic("priv") = (103, 143) = (d, N)$
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Pour chiffrer un message $m$, on peut faire $c = m^e % N$, et pour le
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déchiffrer, $m = c^d % N$.
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Exemple :
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`
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n = 143
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e = 7
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d = 103
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Public key: (7, 143)
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Private key: (103, 143)
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Original message: 42
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Encrypted message: 81
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Decrypted message: 42
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`
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